Question

已知数列{an}满足a1=1,an+1-an=2^n(n∈N*）,求数列的{an}的通项公式,(2)设bn=n乘以an,求数列{bn}的前n项

Answer 1

（1）因为an+1-an=2^n
所以an-an-1=2^（n-1）、、、a2-a1=2^1
所以an+1=an+1-an+an-an-1+、、、+a3-a2+a2-a1+a1
=2^n+2^（n-1）+、、、+2^1+1
=2^（n+1）-1
所以an=2^n-1
（2）由（1）知：an=2^n-1
所以bn=n(2^n-1)=n2^n-n
所以Sn=n2^n-n+（n-1）2^（n-1）-（n-1）+、、、+2*2^2-2+1*2^1-1
=n2^n+（n-1）2^（n-1）+、、、+2*2^2+1*2^1-（n+（n-1）+、、、+2+1）
=n2^n+（n-1）2^（n-1）+、、、+2*2^2+1*2^1-n（n+1）/2
设b=n2^n+（n-1）2^（n-1）+、、、+2*2^2+1*2^1
则nb=n2^（n+1）+（n-1）2^n+、、、+2*2^3+1*2^2（错位相减法）
这样nb-b=n2^（n+1）-2^n-2^（n-1）、、、-2^3-2^2-2^1
=n2^（n+1）-（2^（n+1）-2）
=（n-1）2^（n+1）+2
所以Sn=（n-1）2^（n+1）-n（n+1）/2+2