Question

已知函数f(x)=1/3x^3-ax+1

求f(x)在【0，1】上取最小值；若对任意m∈R，直线y=－x+m都不是曲线y=f（x）的切线，求实数a的取值范围

Answer 1

题目若是f(x)=1/(3x^3)-ax+1的话，有问题：定义域不能是[0,1]，∵当x=0时f(x)没意义(分母为零)
我假设题目为：f(x)=(1/3)x^3-ax+1,则
(1)由f'(x)=x^2-a得，x=±a
∴
当a≥1时，[f(x)]min=f(1)=(4/3)-a
当a≤0时，[f(x)]min=f(0)=1
当0<a<1时，[f(x)]min=f(a)=(1/3)a^3-a^2+1

(2)依题意，只要f(x)的切线的斜率≠-1
由f'(x)=x^2-a≠-1得：
a≠x^2+1
∵x^2+1≥1
∴a<1则符合题意
实数a的取值范围：a<1

Answer 2

解：函数f(x)=1/3x³-ax+1
（1）对称轴x=3a/2.
①3a/2＜0，即a＜0时，f（x）在【0，1】上取最小值f（0）=1；
②0≤3a/2＜1即0≤a＜2/3时，f（x）【0，1】上取最小值f（3a/2）=9/8a³-3/2a²+1；
③3a/2≥1即a≥2/3时，f（x）【0，1】上取最小值f（1）=4/3-a