Question

求行列式的值

Answer 1

(1)
解: D =
r1+ar2
0 1+ab a 0
-1 b 1 0
0 -1 c 1
0 0 -1 d

r1+(1+ab)r3
0 0 a+c+abc 1+ab
-1 b 1 0
0 -1 c 1
0 0 -1 d

r1+(c+abc)r4
0 0 0 1+ab+d(a+c+abc)
-1 b 1 0
0 -1 c 1
0 0 -1 d

第1行依次与2,3,4行交换, 行列式乘(-1)
-1 b 1 0
0 -1 c 1
0 0 -1 d
0 0 0 1+ab+d(a+c+abc)

此为上三角行列式

行列式 = 1 + ab + cd + ad + abcd.

(2)
最后一行依次与上一行交换, 一直交换到第一行.
共交换 n-1 次. 行列式=(-1)^(n-1)*
1 1 ... 1
a^n (a-1)^n ... (a-n)^n
a^n-1 (a-1)^n-1 ... (a-n)^n-1
...... ......
a a-1 ... a-n

最后一行再依次与上一行交换, 一直交换到第2行.
共交换 n-2 次. 行列式=(-1)^(n-1)*(-1)^(n-2)*
1 1 ... 1
a a-1 ... a-n
a^n (a-1)^n ... (a-n)^n
a^n-1 (a-1)^n-1 ... (a-n)^n-1
...... ......
a^2 (a-1)^2 ... (a-n)^2

依次类推, 最后交换成
行列式=(-1)^(n-1)*(-1)^(n-2)*...*(-1)^1*
1 1 ... 1
a a-1 ... a-n
...... ......
a^n-1 (a-1)^n-1 ... (a-n)^n-1
a^n (a-1)^n ... (a-n)^n

对列同样处理, 可消去 -1 的幂, 得 D(n+1)=
1 ... 1 1
a-n ... a-1 a
.... ......
(a-n)^n-1 ... (a-1)^n-1 a^n-1
(a-n)^n ... (a-1)^n a^n

这是Vandermonde行列式
= n!(n-1)!(n-2)!...2!1!