Question

已知函数f(x)=(cosx)^4+2sinxsin(x-∏/2)-(sinx)^4

求
1.周期
2.单调减区间
3.取得最大值时的x
4.区间[0，∏/2]上的值域
5.f(x0)=（3根号2）/5，x0属于[-∏/8，∏/8]，求cos2x0的值

Answer 1

f(x)=(cosx)^4+2sinxsin(x-∏/2)-(sinx)^4
=(cosx)^4-(sinx)^4+2sinx(-cosx)
=[(cosx)^2-(sinx)^2][(cosx)^2+(sinx)^2]-2sinxcosx
=cos2x*1-sin2x
=cos2x-sin2x
=√2[sin(∏/4)*cos2x-cos(∏/4)*sin2x]
=√2sin(∏/4-2x)
=-√2sin(2x-∏/4)
1.周期:2∏/2=∏
2单调减区间:2k∏-∏/2<2x-∏/4<2k∏+∏/2,k∈Z
k∏-∏/8<x<k∏+3∏/8,k∈Z
单调减区间:(k∏-∏/8,k∏+3∏/8),k∈Z
3.取得最大值时的x=k∏-∏/8,k∈Z
4.区间[0，∏/2]上:-∏/4≦2x-∏/4≦3∏/4
-1≦√2sin(2x-∏/4)≦√2
-√2≦f(x)≦1
值域:[-√2,1]
5.f(x0)=cos2x0-sin2x0=(3√2）/5
(cos2x0-sin2x0)^2=18/25
cos^2(2x0)-2sin2x0cos2x0+sin^2(2x0)=18/25
1-2sin2x0cos2x0=18/25
2sin2x0cos2x0=7/25
(cos2x0+sin2x0)^2=(cos2x0-sin2x0)^2+2*2sin2x0cos2x0
=18/25+2*7/25
=32/25
cos2x0+sin2x0=√2sin(2x+∏/4)
x0∈[-∏/8，∏/8],0≦2x0+∏/4≦∏/2
cos2x0+sin2x0≧0
cos2x0+sin2x0=(4√2)/5 (1)
cos2x0-sin2x0=(3√2）/5 (2)
[(1)+(2)]/2:[(cos2x0+sin2x0)+(cos2x0+sin2x0)]/2=[(4√2)/5+(3√2)/5]/2
cos2x0=(7√2)/10

追问

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Answer 2

化简，将首项与末项结合，利用平方差公式跟倍角公式化简为cos2x,中间项利用诱导公式跟倍角公式，化简为-sin2x；最后利用和差角公式变形为f(x)=√2 sin（π/4-2x)
化简到这一步，后面的1-4小题太简单，不再作答，自己翻书，我不希望学生连这个都要解答，百度知道不是做习题机器。最后一问给个提示，注意x0的范围，取值应该只有一个。