Question

若a1，a2，a3线性无关。证明a1，a1+a2，a1+a2+a3 线性无关。

Answer 1

假设a1，a1+a2，a1+a2+a3 线性相关。
那么必然有一组不全为0的数组k1，k2，k3使得
k1a1+k2（a1+a2）+k3（a1+a2+a3）=0
即（k1+k2+k3）a1+（k2+k3）a2+k3a3=0

因为a1，a2，a3线性无关
所以
k1+k2+k3=0
k2+k3=0
k3=0
解方程组得到k1=0，k2=0，k3=0。这和k1，k2，k3不全为0的设定矛盾。
所以a1，a1+a2，a1+a2+a3 线性无关。

Answer 2

证明: 设 k1a1+k2(a1+a2)+k3(a1+a2+a3) = 0
则 (k1+k2+k3)a1 + (k2+k3)a2 + k3a3 = 0
因为 a1,a2,a3 线性无关'
所以 k1+k2+k3 = 0
k2+k3 = 0
k3 = 0
得 k1=k2=k3=0
所以 a1,a2+a2,a1+a2+a3 线性无关.

Answer 3

证明:
a1，a2，a3线性无关
设k1(a1)+k2(a1+a2)+k3(a1+a2+a3)=0
(k1+k2+k3)a1+(k2+k3)a2+(k3)a3=0
因为a1，a2，a3线性无关
所以
k1+k2+k3=0
k2+k3=0
k3=0
所以k1=k2=k3=0时k1(a1)+k2(a1+a2)+k3(a1+a2+a3)=0
所以a1，a1+a2，a1+a2+a3 线性无关。