Question

设a1，a2，a3线性无关，证明a1 a2，a2 a3，a3 a1也线性无关

是证明a1+a2，a2+a3，a3+a1线性无关。谢谢

Answer 1

设有一组系数x，y，z，满足x（a1+a2）+y（a2+a3）+z（a1+a3）=0
经过整理，得到（x+z）a1+（x+y）a2+（y+z）a3=0
因为a1，a2，a3线性无关。根据线性无关的定义可知
x+z=0 1式
x+y=0 2式
y+z=0 3式
1式+2式+3式得到
2x+2y+2z=0，即x+y+z=0 4式
4式-1式，得到y=0
4式-2式，得到z=0
4式-3式，得到x=0
所以x=0，y=0，z=0
根据上面的证明，如果有一组系数x，y，z，满足x（a1+a2）+y（a2+a3）+z（a1+a3）=0的画，就必须是x=y=z=0
无法找到一组不全为0的系数x，y，z，来满足x（a1+a2）+y（a2+a3）+z（a1+a3）=0
所以根据线性无关的定义a1+a2，a2+a3，a3+a1是线性无关的。