Question

求函数的极限，能不能把它用极限的四则运算法则拆成 一个常数和一个无穷来得出函数的极限。例如下。

求函数的极限，能不能把它用极限的四则运算法则拆成 一个常数和一个无穷来得出函数的极限。例如下。

求lin(lnx- x/e)

x趋于正无穷的极限。

看到有是这样求的。
如图

上述求解是否正确。我觉得是正确的。它的极限也确实是正无穷。

但是有说应用四则运算法则必须是在各个极限都存在的情况才能拆开，有的说极限为正无穷是极限不存在，所以不能用四则运算。

但是我觉得只要拆开后不是那七种未定式就有办法求解。并且就极限为无穷大不也是一钟结果吗，为什么说这样极限就不存在。正无穷大乘一个负常数确实是负无穷大啊。

求高手大神指点。明白的人来！要准确的！！好可以追加。

Answer 1

首先这做法是正确的 但 第一个等号写错了 当然下面是正确的
我们说的必须是在各个极限都存在的情况才能拆 其实一般主要出现在加减运算
比如这题有人可能会这样做 lim(lnx- x/e)=lim lnx -limx/e=无穷-无穷=0
还有我们说极限不存在 一般包括 左右极限不相等（这又包括几种情况） 无穷 还有比如
lim(x->无穷) sin(1/x) 这种三角函数情况

追问

你说“比如这题有人可能会这样做 lim(lnx- x/e)=lim lnx -limx/e=无穷-无穷=0“
这样做应该明显是错的吧，无穷减无穷很明显的未定式啊，这道题不正因为是这种型的所以才变形使用洛必达的吗。

还有“还有我们说极限不存在 一般包括 左右极限不相等（这又包括几种情况） 无穷 ”、
那么既然limx是趋于无穷的，课本上又说只有在存在极限时才能用四则法则拆出来，那么这样做不就是错误的咯？矛盾。。。不懂啊啊啊。

追答

你说“比如这题有人可能会这样做 lim(lnx- x/e)=lim lnx -limx/e=无穷-无穷=0“
这样做应该明显是错的吧，无穷减无穷很明显的未定式啊，这道题不正因为是这种型的所以才变形使用洛必达的吗。
我举这个例子确实很明显是错的 但确实有人这样错过 我是想说lim(lnx- x/e)=lim lnx -limx/e=无穷-无穷=0 这样拆开就是你说的这种错误 极限不存在 而不能拆开

至于课本上又说只有在存在极限时才能用四则法则拆出来
好像主要指的是 拆开后 无穷-无穷 0/0 无穷/无穷 0*无穷 这些情况
书上说的是 拆开后极限都不存在 或者0/0等情况
而向这题相当于 有界函数与无穷大的乘积仍然是无穷大 应该还学过有界函数与无穷小的乘积仍然是无穷小

Answer 2

这么做，没错，其实没必要这么麻烦，可以直接求，lnx求极限是负无穷，-x/e也是负无穷，所以结果也是负无穷，也就是极限不存在

追问

lnx极限很明显不是正无穷么。。