Question

函数f（x）=x3+x-16．（1）求曲线y=f（x）在点（2，-6）处的切线的方程；（2）直线l为曲线y=f（x）的切...

函数f（x）=x3+x-16．（1）求曲线y=f（x）在点（2，-6）处的切线的方程；（2）直线l为曲线y=f（x）的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；

Answer 1

解：（1）可判定点（2，-6）在曲线y=f（x）上．
∵f′（x）=（x3+x-16）′=3x2+1，
∴在点（2，-6）处的切线的斜率为k=f′（2）=13．
∴切线的方程为y=13（x-2）+（-6），即y=13x-32；
（2）设切点为（x0，y0），

Answer 2

经检验点(2,-6)在曲线f(x)上
求导可得f'(x)=3x²+1
∴在点(2,-6)处的切线的斜率为k=f'(2)=13
∴切线的方程为y=13(x-2)-6，即y=13x-32
设切点为(a,a³+a-16)则
直线L的斜率为f'(a)=3a²+1
∴直线L的方程为y=(3a²+1)(x-a)+a³+a-16
又∵直线l过(0,0)点
∴-a(3a²+1)+a³+a-16=0
∴a³=-8
∴a=-2
∴直线L的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26)

Answer 3

记f'(x)为f(x)的导数
f'(x)=3x^2+1
x=2
f'(x)=12+1=13
∴f(x)在（2，-6)的斜率为13
用点斜式方程
y-(-6)=13(x-2)

(2)设直线L的方程为y=kx
设切点坐标为（a,b)
当x=a时
f'(x)=3a^2+1
所以k=3a^2+1
∴b=3a^3+a
与f(a)=a^3+a-16=b联立
解得a=-2,b=-26
切点坐标（-2，-26）
直线方程y=13x