Question

如图①,抛物线y=ax2+bx的对称轴为直线x=-3/2,且抛物线经过点A(-4,2),AB平行于x轴,

如图①,抛物线y=ax2+bx的对称轴为直线x=-3/2,且抛物线经过点A(-4,2),AB平行于x轴,交抛物线于点B。
1.求抛物线的解析式和点B坐标2.过点A作AC垂直于X轴于C，在X轴上是否存在点D，使三角形AOC与三角形BOD相似？若存在，求出点D的坐标，若不在，请说明理由3.如图2，将三角形AOB饶着点O按逆时针向旋转后到达三角形A`OB`的位置，当线段A`B`的中点正好落在直线OA上时，求直线A`B`与直线AB的交点P的坐标

Answer 1

⑴由已知：-b/(2a)=-3/2，2=16a-4b，

解得：a=1/2，b=3/2，

∴二次函数解析式为：Y=1/2X^2+3/2X，

令Y=2，X^2+3X-4=0，X=-4或1，∴B(1，2)。

⑵过B作BD⊥X轴于D，则D(1，0)，

∵AC/OD=OD/BD=2，∵∠ACO=∠BDO=90°，

∴ΔOAC∽ΔBOD，

过B作BD'⊥OB交X轴于D'，易得ΔOBD∽ΔOD'B，OB^2=OD*OD;，OD'=5，

∴D'(5，0)。

∴存在两个点D(1，0)，D'(5，0)。

⑶OA中点E(-2，1)，A'B'=AB=5，

 

设OA中点为E，过O作OF⊥A'B'于F，∵OB=OE=√5=OB'，OF为ΔOAB斜边上的高，OF=2，

∴EF=B'F=1，∴ΔOEF∽ΔOAC，

∴∠FOG=2∠AOC，

过F作FG⊥X轴于G，

∵tan∠AOC=1/2，∴tan∠FOG=2tan∠AOC/(1-tan∠AOC^2)=4/3，

∴FG=2OG，设OG=3m(m>0)，则FG=4m，

在RTΔOFG中，9m^2+16m^2=4，m=2/5，

∴F(-6/5，8/5)，

设直线EF解析式为Y=KX+b，得方程组：

8/5=-6/5K+b

1=-2K+b

解得：K=3/4，b=5/2，

∴直线A‘B解析式为：Y=3/4X+5/2，

当Y=2，即3/4X+5/2=2时，X=-2/3，

∴P(-2/3，2)。

Answer 2

1、抛物线解析式 y=1/2x2+3/2x B(1,2)
2、存在 D(1,0) D'(5,0)
直线A'B'与AB的交点是（-√5,½√5）
希望您采用。