Question

三角函数的诱导公式和推导过程

Answer 1

万能公式推导

　　sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*，

　　（因为cos^2(α)+sin^2(α)=1）

　　再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α=2tanα/(1+tan^2(α))

　　然后用α/2代替α即可。

　　同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。

三倍角公式推导

　　tan3α=sin3α/cos3α

　　=(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)

　　=(2sinαcos^2(α)+cos^2(α)sinα－sin^3(α))/(cos^3(α)－cosαsin^2(α)－2sin^2(α)cosα)

　　上下同除以cos^3(α)，得：

　　tan3α=(3tanα－tan^3(α))/(1-3tan^2(α))

　　sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα

　　=2sinαcos^2(α)+(1－2sin^2(α))sinα

　　=2sinα－2sin^3(α)+sinα－2sin^3(α)

　　=3sinα－4sin^3(α)

　　cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα－sin2αsinα

　　=(2cos^2(α)－1)cosα－2cosαsin^2(α)

　　=2cos^3(α)－cosα+(2cosα－2cos^3(α))

　　=4cos^3(α)－3cosα

　　即

　　sin3α=3sinα－4sin^3(α)

　　cos3α=4cos^3(α)－3cosα
和差化积公式推导

　　首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb

　　我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb

　　所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

　　同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

　　同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb

　　所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb

　　所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

　　同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

　　这样,我们就得到了积化和差的四个公式:

　　sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

　　cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

　　cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

　　sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

　　好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.

　　我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2

　　把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:

　　sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

　　sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

　　cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

　　cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

Answer 2

三角函数的诱导公式（六公式） 　　公式一：　 　　sin(-α) = -sinα 　　cos(-α) = cosα 　　tan (-α)=-tanα 　　公式二： 　　sin(π/2-α) = cosα 　　cos(π/2-α) = sinα 　　公式三： 　　sin(π/2+α) = cosα 　　cos(π/2+α) = -sinα 　　公式四： 　　sin(π-α) = sinα 　　cos(π-α) = -cosα 　　公式五： 　　sin(π+α) = -sinα 　　cos(π+α) = -cosα 　　公式六： 　　tanA= sinA/cosA 　　tan（π/2+α）=－cotα 　　tan（π/2－α）=cotα 　　tan（π－α）=－tanα 　　tan（π+α）=tanα 　　诱导公式 记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限

Answer 3

只要知道这样一句话，就能全部推导出来
奇变偶不变，符号看象限。
把需要转化的函数的括号里的数字转化为n倍2/π和X，
n为整数则X改变，n为分数或小数则n需改变
看X在哪一个象限，根据象限判断符号。

Answer 4