Question

设∑是由平面x+y+z=1及三个坐标面所围成的立体的表面外侧，则∫∫xydydz+yzdzdx+zx

设∑是由平面x+y+z=1及三个坐标面所围成的立体的表面外侧，则∫∫xydydz+yzdzdx+zxdxdy的值等于

Answer 1

用高斯公式，设P=xy,Q=yz,R=zx，则ðP/ðx+ðQ/ðy+ðR/ðz=x+y+z。所以原积分
=∫∫∫(x+y+z)dxdydz，由于对称性可知，∫∫∫xdxdydz=∫∫∫ydxdydz=∫∫∫zdxdydz，所以原积分=3∫∫∫zdxdydz，用截面法计算。积分=3∫zdz∫∫dxdy=(3/2)∫z(1-z)^2dz（积分限0到1）=5/8

追问

方法正确，最后一步算错了 应该等于1/8 不过我懂了 谢谢你

追答

果然算错数了。。。又算了一下，是1/8.