Question

已知函数f(x)=(1/3)x3-ax+1 (1)若x=1时,f(x)取得极值,求实数a的值

（2）求f(x)在[0,1]上的最小值 （3）若对任意m∈R,直线y=-x+m都不是曲线y=f(x)的切线，求实数a的取值范围

Answer 1

(1)
f(x)=(1/3)x³-ax+1
f'(x)=x²-a
∵x=1时,f(x)取得极值,
∴f'(1)=1-a=0,a=1
此时f'(x)=(x+1)(x-1)
f(1)为f(x)的极小值
∴a=1符合题意
（2）
f'(x)=x²-a
当a≤0时，f'(x)≥0恒成立，f(x)为增函数
∴f(x)min=f(0)=1

当0<a<1时，f'(x)=(x+√a)(x-√a)
x∈[0,√a)时，f'(x)<0,f(x)递减
x∈(√a,1]时，f'(x)>0,f(x)递增
∴f(x)min=f(√a)=1/3*a*√a-a*√a+1=1-2/3*a^(3/2)

当a≥1时，x∈[0,1],f'(x)≤0恒成立,f(x)递减
∴f(x)min=f(1)=-2/3-a

(3)
对任意m∈R,直线y=-x+m都不是曲线y=f(x)的切线
即是曲线不存在斜率为1的切线
即f'(x)=x²-a=-1,x²=a-1无实数解
∴a-1<0即a<1