Question

设对任意实数x>0,y>0.若不等式x+√xy≤a(x+2y)恒成立,则实数a的最小值为

若不等式x+2√(xy)<=a(x+y)对任意的实数x>0,y>0恒成立，则实数a的最小值为
详细解答 谢谢

Answer 1

你好！

由于x>0,y>0
于是原不等式可以写成
a>=[x+√（xy）]/(x+2y)
令x=ky,k>0
则不等式可以写成
a>=(1+√k)/(1+2k)
令f(k)=(1+√k)/(1+2k) k>0
原不等式即为a>=f(k)max
f'(k)=(1-2k)/[2√k(1+2k)^2]
令f'(x)=0
则k=1/2
带入得f(k)max=1/2+√2/4
于是a>=1/2+√2/4
则a的最小值为1/2+√2/4
如有不懂请追问，满意请采纳
祝学习进步O(∩_∩)O~

追问

真不好意思，您能看下x+2√(xy)<=a(x+y) 的怎么做么？我用您的方法，到求导找最值那不太会做，您能帮忙看一下么？O(∩_∩)O谢谢

追答

你好，之前把式子看错了，抱歉

由于x>0,y>0
于是原不等式可以写成
a>=[x+2√（xy）]/(x+y)
令x=ky,k>0
则不等式可以写成
a>=(1+2√k)/(1+k)
令f(k)=(1+2√k)/(1+k) k>0
原不等式即为a>=f(k)max
f‘（x)=(-k+1-√k）/[√k*(1+k)^2]
令f'(x)=0
则k=(3-√5)/2
带入得f(k)max=(√5+1）/2
于是a>=(√5+1)/2
则a的最小值为(√5+1)/2
如有不懂请追问，满意请采纳
祝学习进步O(∩_∩)O~