Question

高一数学跪求答案： 已知sinβ+cosβ=1/5,β∈(0,π) ，求值！ ①tanβ ②sinβ

高一数学跪求答案： 已知sinβ+cosβ=1/5,β∈(0,π) ，求值！
①tanβ
②sinβ—cosβ

Answer 1

由sinβ+cosβ=1/5，可知
（sinβ+cosβ）²=1/25，解得sin2β=-24/25,则3π/2>2β>5π/4,3π/4>β>5π/8。
由sin2β²+cos2β²=1，得cos2β=-7/25，∴tan2β=24/7,解得tanβ=-4/3

设sinβ—cosβ=t ① ①+②得sinβ=（1/5+t）/2
sinβ+cosβ=1/5② ①-②得cosβ=（1/5-t）/2
sin2β=2sinβcosβ=-24/25 解得t=7/5

注：此题关键要进一步缩小β范围，3π/4>β>5π/8即可，就不会出现多解的情况，解出的结果有两个，自己根据β范围舍一个吧，我没写。

Answer 2

由sinβ+cosβ=1/5<1，并结合β∈（0，π）知道β∈（π/2,π）,对已知进行两边平方得到1+2sinβcosβ=1/25，
所以-2sinβcosβ=24/25，两边同时加1，并利用sin²+cos²=1得到（sinβ-cosβ）²=49/25，由又β的取值范围知道，sinβ-cosβ>0<，所以sinβ-cosβ=7/5<解出sinβ=4/5,cosβ=-3/5，这时候tanβ=-4/3

Answer 3

解答：
∵ sinβ+cosβ=1/5
代入 sin²β+cos²β=1
∴ (1/5-cosβ)²+cos²β=1
∴ 2cos²β-(2/5)cosβ-24/25=0
即 25cos²β-5cosβ-12=0
∴ (5cosβ-4)(5cosβ+3)=0
∴ cosβ=4/5或cosβ=-3/5
（1）cosβ=4/5, 则sinβ=-3/5, 不合题意
（2）cosβ=-3/5, 则sinβ=4/5,
① tanβ=sinβ/cosβ=-4/3
② sinβ-cosβ=4/5-(-3/5)=7/5

Answer 4

打字不方便，所以用a代表正弦，b为余弦，c为正切
（a+b）2=1\25，2ab=-24\25，（a-b）2=1+24\25=49\25，a＞b，所以a-b=9\5，从而求出a、b，最后得c