Question

如图1，在等腰梯形ABCD中，AD平行BC，E是AB的中点，过点E作EF平行BC交CD于点F。AB=4，BC=6，角B=60度。

1，求点E到BC的距离2，点P为线段EF上的一个动点，过P作PM垂直EF交BC于点M，过M作MN平行AB交折线ADC于点N，连接PN，设EP=X。（1），当点N在线段AD上时，三角形PMN的形状是否发生改变？若不变，求出三角形PMN的周长，若改变，请说明理由。（2），当N在线段DC上时，是否存在点P，使三角形PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的X的值，若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）如图1，过点E作EG⊥BC于点G．
∵E为AB的中点，
∴BE=1 2 AB=2
在Rt△EBG中，∠B=60°，∴∠BEG=30度．
∴BG=1 2 BE=1，EG= 2²-1²= 根号3
即点E到BC的距离为 根号3

（2）①当点N在线段AD上运动时，△PMN的形状不发生改变．
∵PM⊥EF，EG⊥EF，
∴PM∥EG，又EF∥BC，
∴四边形EPMG为平行四边形，
∴EP=GM，PM=EG= 3
同理MN=AB=4．
如图2，过点P作PH⊥MN于H，
∵MN∥AB，
∴∠NMC=∠B=60°，∠PMH=30度．
∴PH=½ PM= 根号3/2∴MH=PM•cos30°=3/2
则NH=MN-MH=4-3 /2 =5 /2
在Rt△PNH中，PN= NH2+PH2 = (5 /2 )2+( 3 / 2 )2 = 7
∴△PMN的周长=PM+PN+MN= 3 + 7 +4

②当点N在线段DC上运动时，△PMN的形状发生改变，但△MNC恒为等边三角形．
当PM=PN时，如图3，作PR⊥MN于R，则MR=NR．
类似①，MR=3 /2 ，
∴MN=2MR=3．
∵△MNC是等边三角形，
∴MC=MN=3．
此时，x=EP=GM=BC-BG-MC=6-1-3=2．
当MP=MN时，
∵EG= 根号3 ，
∴MP=MN= 3 ，
∵∠B=∠C=60°，
∴△MNC是等边三角形，
∴MC=MN=MP= 根号3
此时，x=EP=GM=6-1- 根号3 =5-根号 3 ，
当NP=NM时，如图5，∠NPM=∠PMN=30度．
则∠PNM=120°，又∠MNC=60°，
∴∠PNM+∠MNC=180度．
因此点P与F重合，△PMC为直角三角形．
∴MC=PM•tan30°=1．
此时，x=EP=GM=6-1-1=4．
综上所述，当x=2或4或（5- 根号3 ）时，△PMN为等腰三角形．

Answer 2

1.过点E作EO⊥BC于点O
E是AB的中点，AB=4,故AE=BE=2
∠B=60
故EO=BE*sin60=√ 3
2.（1）N在线段AD上时，设点P移动到P'点，M移动到M'点，MN//AB，PM//P'M'，MN//M'N'
故三角形PMN相似三角形P'M'N'，即三角形PMN形状不会改变
设MN交EF于点G,过A作AH⊥BC于点H，过点N作NI//PM则：
AH=AB*sin60=2√ 3,PM=AH/2=√ 3，PH=HI=1
故PN=√ 7
而MN//且=AB=4
故三角形周长=4+√ 3+√ 7
（2）