Question

在三角形ABC中,角A,角B,角C所对的边分别用A,B,C表示。

.(1)如图,在三角形ABC中,角A=2角B,且角A=60度.求证:A的平方=B（B+C）。
（2）如果一个三角形的一个内角等于另外一个内角的两倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”。本题第一问中的三角形是一个特殊的倍角三角形，那么对于任意的倍角三角形ABC，其中角A=2角B，关系式A的平方=B（B+C）是否仍然成了？并证明你的结论：
请各位数学高手帮帮忙，解第二题，要详细过程。

Answer 1

根据正弦定理：a/sinA=b/sinB，sinA=2sinB*cosB，代入得：cosB=a/(2b)，
根据余弦定理：b^2=a^2+c^2-2ac*(a/2b)，
2b^3=2a^2b+2bc^2-2a^2c,
b(b^2-c^2)=a^2(b-c),
b(b+c)(b-c)=a^2(b-c),
当b-c≠0，b≠c时，a^2=b(b+c).
当b=c时，∠A=2∠B=∠B+∠C，
∴∠A=90°，
a^2=2b^2，b(b+c)=2b^2，∴a^2=b(b+c),
综上所述：a^2=b(b+c).

追问

什么是正弦定理、余弦定理？你写的我有点不明白，那个还没学，可不可以简单点解释下

追答

是初中的啊，那用相似形。

延长BA到D，使AD=AC，连接CD，

则：AD=b，BD=b+c，∠D=∠ACD，

∵∠BAC=∠D+∠ACD=2∠D，∠BAC=2∠B，

∴∠B=∠D=∠ACD，∴BC=CD=a，

∠D为公共角，∴ΔDBC∽ΔDCA，

∴DB/DC=DC/DA，

∴DC^2=BD*DA

∴a^2=b(b+c).

Answer 2

你的这个“求证:A的平方=B（B+C）”是证角还是证边？

追问

是证边，

追答