Question

已知3维向量组I:a1,a2和M:b1,b2都线性无关，证明存在向量n≠0,n既可由向量组I表示，也可由向量组M线性表示

Answer 1

由于是3维向量组
所以齐次线性方程组 x1a1+x2a2+y1b1+y2b2=0 有非零解(m1,m2,n1,n2)
令 n = m1a1+m2a2=-k1b1-k2b2
由于向量组I与M都线性无关, 所以 n≠0
----否则组合系数都等于0, 与(m1,m2,n1,n2)非零矛盾
所以存在向量n≠0,n既可由向量组I表示,也可由向量组M线性表示

Answer 2

因为α1，α2，β1，β2是三维向量
若α1，α2，β1线性无关，则β2可以由α1，α2，β1线性表出，不妨设β2=a1α1 a2α2 b1β1
令β=β2-b1β1=a1α1 a2α2即满足条件
若α1，α2，β1线性相关，则β1可由α1，α2线性表出，不妨有β1=a1α1 a2α2
则令β=β1即可