Question

已知向量a=(2cosx+2√3sinx,1),向量b=(y,cosx),且a//b，(1)将y表示成x的函数f（x）,并求f（x）的最小正周

期
（2）记f（x）的最大值为M。a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C对应的边长，若f（A/2）=M且a=2，求bc的最大值

Answer 1

1
a=(2cosx+2√3sinx,1)，b=(y,cosx)，a∥b，则：a=kb
即：(2cosx+2√3sinx,1)=k(y,cosx)
即：kcosx=1，即：k=1/cosx
y=(2cosx+2√3sinx)/k=(2cosx+2√3sinx)*cosx
=1+cos(2x)+sqrt(3)sin(2x)
=2sin(2x+π/6)+1
即：f(x)=2sin(2x+π/6)+1
最小正周期：T=2π/2=π
2
f(x)=2sin(2x+π/6)+1的最大值：M=3
f(A/2)=2sin(A+π/6)+1=3，即：sin(A+π/6)=1
A是内角，即：0<A<π，即：π/6<A+π/6<7π/6
即：A+π/6=π/2，即：A=π/3
a^2=b^2+c^2-2bccosA=b^2+c^2-bc=4
而：b^2+c^2≥2bc，即：bc≤4
故bc的最大值是4

Answer 2

a//b y=(2cosx+2√3sinx)cosx=2cos²x+2√3sinxcosx
=1+cos2x+√3sin2x
=2sin(2x+π/6)+1
f（x）的最小正周期 T=2π/2=π
记f（x）的最大值为M。则M=3 f（A/2）=M
f（A/2）=2sin(A+π/6)+1=3 sin(A+π/6)=1
0<A<π π/6 < A+π/6<7π/6 A+π/6=π/2 A=π/3
b=4√3sinB/3 c=4√3sinC/3
bc=16sinBsinC/3 =16sinBsin(2π/3-B)/3
=16sinB(sin2π/3cosB-cos2π/3sinB)/3
=8(√3sinBcosB+sin²B)/3
=4(√3sin2B+2sin²B)/3
=4(√3sin2B-cos2B+1)
=8(√3sin2B+cos2B)/2-4
=8sin(2B+π/6)-4
0<2B<2π π/6 <2B+π/6<13π/6
bc的最大值4