Question

如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F。

（1） 求证：FD2=FB●FC。
（2） 若G是BC的中点，连接GD，GD与EF垂直吗？并说明理由。

Answer 1

分析：（1）要求证：FD2=FB•FC，只要证明△FBD∽△FDC，从而转化为证明∠FDC=∠FBD；
（2）要证DG⊥EF，只要证明∠5+∠1=90°，转化为证明∴∠3=∠4即可．
解答：（1）证明：∵E是Rt△ACD斜边中点，
∴DE=EA，
∴∠A=∠2，（1分）
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠A，（2分）
∵∠FDC=∠CDB+∠1=90°+∠1，∠FBD=∠ACB+∠A=90°+∠A，
∴∠FDC=∠FBD，
∵∠F是公共角，
∴△FBD∽△FDC．（4分）
∴
FB
FD
=
FD
FC
．
∴FD2=FB•FC．（6分）

（2）GD⊥EF．（7分）
理由如下：
∵DG是Rt△CDB斜边上的中线，
∴DG=GC．
∴∠3=∠4．
由（1）得∵△FBD∽△FDC，
∴∠4=∠1，
∴∠3=∠1．（9分）
∵∠3+∠5=90°，
∴∠5+∠1=90°．
∴DG⊥EF．（10分）

点评：证明线段的积相等可以转化为证明三角形相似，证明两直线垂直转化为证明形成的角是直角
忘采纳！

Answer 2

证明：（1）∵E是Rt△ACD斜边中点
∴DE=EA
∴∠A=∠2…………………………………………………………1分
∵∠1=∠2
∴∠1=∠A…………………………………………………………2分
∵∠FDC=∠CDB+∠1=90°+∠1，∠FBD=∠ACB+∠A=90°+∠A
∴∠FDC=∠FBD
∵F是公共角
∴△FBD∽△FDC………………………4分
∴
∴
……………………6分
（2）GD⊥EF……………………………7分
理由如下：
∵DG是Rt△CDB斜边上的中线，
∴DG=GC
∴∠3=∠4
由（1）得∠4=∠1
∴∠3=∠1………………………………9分
∵∠3+∠5=90°
∴∠5+∠1=90°
∴DG⊥EF………………………………10分