Question

已知a1 a2 a3线性无关，a1 a2 a3 a4线性相关，a1 a2 a3 a5线性无关，证明a1 a2 a3,a5-a4线性无关，谢谢

有解答如下
因为 a1 a2 a3 线性无关，a1 a2 a3 a4 线性相关
所以 a4 可由 a1,a2,a3 线性表示
因为 a1 a2 a3 a5 线性无关
所以 a5 不能由 a1,a2,a3 线性表示

所以 a5-a4 不能由 a1,a2,a3 线性表示所 以 a1 a2 a3,a5-a4 线性无关 为什么 a5-a4不能用a1 a2 a3 线性表示？ 为什么 a5-a4不能用a1 a2 a3 线性表示？

Answer 1

不能啊， 因为a5 不能由 a1,a2,a3 线性表示，用反证法也可以证明 啊，假设a5-a4能用a1 a2 a3 线性表示，则
a5-a4=k1a1+k2a2+k3a3,a4=k4a1+k5a6+k6a3推出a5=(k1+k4)a1+(k2+k5)a2+(k3+k6)a3，与a5不能由 a1,a2,a3 线性表示矛盾。懂了吧？

Answer 2

若 a5-a4 可由 a1 a2 a3 线性表示
而 a4 可由 a1 a2 a3 线性表示
两式相加就得 a5 可由 a1 a2 a3 线性表示