Question

已知直线Y=2x-5与X轴和Y轴分别交于点A和点B

（2012•三明）已知直线y=2x-5与x轴和y轴分别交于点A和点B，抛物线y=-x2+bx+c的顶点M在直线AB上，且抛物线与直线AB的另一个交点为N．
（1）如图，当点M与点A重合时，求：
①抛物线的解析式；
②点N的坐标和线段MN的长；
（2）抛物线y=-x2+bx+c在直线AB上平移，是否存在点M，使得△OMN与△AOB相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）①∵直线y=2x-5与x轴和y轴交于点A和点B，∴A(5/2 ，0)，B（0,-5)
当顶点M与点A重合时，∴M(5/2 ，0)，
∴抛物线的解析式是：y=-(x-5/2)^2,即y=-x^2+5x-25/4 ．
②∵N在直线y=2x-5上，设N（a，2a-5），又N在抛物线=-x^2+5x-25/4上，
∴2a-5=-a^2+5a-25/4．
解得 a1=1/2 ，a2=5/2（舍去）
∴N(1/2,-4)．
过N作NC⊥x轴，垂足为C．
∵N(1/2,-4)，∴C(1/2,0)．
∴NC=4． MC=OM-OC=5/2-1/2=2．
∴MN=√(NC^2+MC^2)=√(4^2+2^2) =2 √5；

（2）∵A(5/2 ，0)，B（0，-5）．
∴OA=5/2,OB=5,直线AB的解析式是：y=2x-5，
则OB=2OA，AB=√(OA^2+OB^2)=(5√5)/2，
当OM⊥AB时，直线OM的解析式是：y=-1/2x，
解方程组：
y=2x-5,y==-1/2x,解得：
x=2
y=-1，
则M的坐标是（2，-1）；
当ON⊥AB时，N的坐标是（2，-1），设M的坐标是（m，2m-5）则m＞2，
∵ON=√5，
∴OM^2=ON^2+MN^2，
即m^2+（2m-5）^2=5+（2√5 )^2 ,解得：m=4，
则M的坐标是M（4，3）．
故M的坐标是：（2，-1）或（4，3）．