Question

已知函数f(x)＝2Inx+ax²-1   (a∈R) (1)求函数f(x)的单调区间 (2)若a＝

已知函数f(x)＝2Inx+ax²-1   (a∈R)
(1)求函数f(x)的单调区间
(2)若a＝1，分别解答下面两题
①若不等式f(1+x)+f(1-x)＜m对任意的0＜x＜1恒成立，求m的取值范围
②若x1，x2是两个不相等的正数，且f(x1)+f(x2)＝0，求证x1+x2＞2

Answer 1

f(x)＝2Inx+ax²-1 ,x>0, (a∈R)
f'(x)=2/x+2ax=2(1+ax^)/x
(1)a>=0时f'(x)>0,f(x)↑；
a<0时f'(x)=2a(x^+1/a)/x=2a[x+√(-1/a)][x-√(-1/a)]/x,
-√(-1/a)<x<√(-1/a),f'(x)>0,f(x)↑；
x<-√(-1/a)或x>√(-1/a),f'(x)<0,f(x)↓。
（2）①f(1+x)+f(1-x)＜m对任意的0＜x＜1恒成立，
<==>2ln(1+x)+2ln(1-x)+(1+x)^+(1-x)^-2<m,
<==>m>2ln(1-x^)+2x^,记为g(x),
g'(x)=-4x/(1-x^)+4x=-4x^3/(1-x^)<0,g(x)↓，
g(x)<g(0)=0,
∴m>=0.
②f(x1)+f(x2)＝0=f(1)，？
待续