Question

常微分方程dy/dx=6y/x-xy^2的通解

Answer 1

dy/dx=6y/x-xy^2.

解：当y¹0时，令z=,原方程变为dz/dx=-6/xz+x,这是一个一阶线性微分方程，其通解为：z=1/x^6(C+1/8x^8),从而原方程的通解为x^6/y-x^8/8=C,其中C为任意的常数，此外，显然y=0也是方程的解。

恰当方程形式

一、当dU(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy,M(x,y)dx+N(x,y)dy=0。（3）则是恰当方程。判断一个方程是否是恰当方程的充要条件是：dM/dy=dN/dx。则其通解为

,或

，其中C是任意的常数而且

为区域G内任意取定的一点。

Answer 2

dy/dx = (x + y)²
令t = x + y,dt/dx = 1 + dy/dx
dt/dx - 1 = t²
dt/dx = (1 + t²)
dt/(1 + t²) = dx
arctan(t) = x + C₁
x + y = tan(x + C₁)
y = tan(x + C₁) - x

Answer 3

这是伯努利方程，两边同时除以y^2就可以得到一阶非齐次线性微分方程

Answer 4

在matlab中输入：dsolve('Dy=6*y/x-x*y^2',‘x’)
得到输出结果：
ans =

0
x^6/(x^8/8 + C)