Question

设函数f(x)=(2-a)lnx+(1/x)+2ax

(1)当a=0时，求f(x)的极值(2)当a≠0时，f(x)的单调区间

Answer 1

首先求出函数定义域为{x|x>0}

1.a=0时，f(x)=2lnx+(1/x),求导f'(x)=2/x-1/(x^2)=(2x-1)/(x^2),令其=0得x=1/2，x>1/2导数为正，<1/2导数为负，因此1/2为极小值点。代入到原函数，得
f(1/2)=-2ln2+2

2. f'(x) = (2-a)/x- 1/x^2+2a = [2ax^2 +(2-a)x -1]/ x^2 = (2x-1)(ax+1)/x^2

若a>0,则ax+1>0,上式中只需要考虑2x-1的符号，因此(0,1/2)是减区间，(1/2,无穷）是增区间；

若a<0，则需要考虑根- 1/a 与1/2的关系，若-1/a<1/2，即a<-2时，其减区间为(0,-1/a)及（1/2,无穷），增区间为(-1/a,1/2);若a=-2，则在定义域上减；若a>-2且<0，则减区间为(0,1/2)及（-1/a,无穷），增区间为（1/2,-1/a)。

以上判断需要画个抛物线图来看。

不懂可追问。