Question

设函数f(x)=(2-a)lnx+1/x+2ax

设函数f(x)=(2-a)lnx+1/x+2ax
（1）设g(x)=f(x)-1/x,在[1,+无穷）上单增递增，求a的取值范围
（2）当a不等于0时，求f（X）的单增区间

Answer 1

解：(1) g(x)在[1，+∞)上单增，则g'(x)=f'(x)+1/x²≥0，即f'(x)≥-1/x²，
由于x∈[1，+∞)，则-1/x²∈[-1,0)，故f'(x)≥0
f'(x)=(2-a)/x-1/x²+2a=[2ax²+(2-a)x-1]/x²=(2x-1)(ax+1)/x²≥0，
由于x＞1，则x²＞0，2x-1＞0
故当x＞1时，ax+1≥0恒成立，即a≥－1/x²
ⅰ当a≥0时，显然成立.
ⅱ当a＜0时，－1/x²∈[-1,0)，则a≥0，与假设不符故舍去.

(2) 由f(x)定义域知x＞0，则x²＞0
令f'(x)≥0，则有(2x-1)(ax+1)≥0
ⅰ当a＜0时，
①a＜-2时，-1/a＜1/2，单增区间为(-1/a，1/2)
②-2＜a＜0时，1/2＜a＜-1/a，单增区间为(1/2，-1/a)
③当a=-2时，f'(x)=-(2x-1)²/x²≤0，单增区间为∅
ⅱ当a＞0时，-1/a＜1/2，故x＜-1/a或x＞1/2，又知x＞0，故单增区间为(0，1/2)