Question

已知二次函数f(x)=ax∧2+bx-3在x=1处取得 极值，切在(0，-3)点处的切线与直线x-2y＝0平 行。1.求f(x)...

已知二次函数f(x)=ax∧2+bx-3在x=1处取得
极值，切在(0，-3)点处的切线与直线x-2y＝0平
行。1.求f(x)的解析式2.求函数g(x)=xf(x)加4x的
单调递增区间和极值

Answer 1

求导可得f'(x)=2ax+b
f'(1)=0
∴2a+b=0
f'(0)=b=1/2
∴a=-1/4
∴f(x)的解析式为f(x)=-x²/4+x/2-3
g(x)=xf(x)+4x=-x³/4+x²/2+x
g'(x)=-3x²/4+x+1
令g'(x)=0则
x=-2/3或x=+2
令g'(x)>0可得
-2/3<x<2
令g'(x)<0可得
x<-2/3或x>2
∴单调递增区间为(-2/3,2)
当x=-2/3时取得极小值-10/27
当x=2时取得极大值2

Answer 2

（1）
f(x)=ax²+bx-3求导数：f´(x)=2ax+b,当x=0时f´(0)=b，说明在(0，-3)点处的切线的斜率等于b
二次函数f(x)=ax²+bx-3在(0，-3)点处的切线与直线x-2y＝0平行，故b=1/2
又：二次函数f(x)=ax²+bx-3在x=1处取得极值，故-b/(2a)=1，a=-1/4
f(x)的解析式为f(x)=（-1/4）x²+（1/2）x-3
（2）
函数g(x)=xf(x)+4x即g(x)=（-1/4）x³+（1/2）x²+x
g´(x)=（-3/4）x²+x+1
△=1+3=4，（-3/4）x²+x+1=0之二根是2，-2/3
当x<-2/3或x>2时g´(x)>0，因此g(x)=（-1/4）x³+（1/2）x²+x在(-∞，-2/3)和(2，+∞)上为增函数；
当-2/3<x<2时g´(x)<0，因此g(x)=（-1/4）x³+（1/2）x²+x在(-2/3，2)上为减函数
△=4>0，-3/4<0，g(x)=（-1/4）x³+（1/2）x²+x在x=-2/3时取得极小值-10/27，在x=2时取得极大值2