Question

高中圆锥曲线难题求解！！！

已知椭圆(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1,(a>b>0)的焦距也4,设右焦点为F1,离心率为e.
(1)若e=根号2/2,求椭圆的方程.
(2)设A,B为椭圆上关于圆点O对称的两点,AF1的中点为M,BF1的中点为N,若圆点O在以线段MN为直径的圆上.
1,证明点A在定圆上;
2,设直线AB的斜率为k,若k>=根号3,求e的取值范围.
求详解！！！

Answer 1

（1）c=2,c/a=1/√2，a=2√2，b=2,
∴椭圆方程是x^/8+y^/4=1.
(2)F1(2,0),设A(p,q),B(-p,-q):p^/a^+q^/b^=1,①
则AF1的中点为M（p/2+1,q/2)BF1的中点为N(1-p/2,-q/2),
O在以线段MN为直径的圆上.
∴向量OM*ON=1-p^/4-q^/4=0,
∴A在圆p^+q^=4②上。
AB的斜率=q/p>=√3，
∴q^/p^>=3,q^>=3p^,
代入①，p^<=1,
把②代入①，p^/a^+(4-p^)/b^=1,
∴4/b^-1=p^(1/b^-1/a^),
p^=(4-b^)a^/(a^-b^)=(4+c^-a^)a^/c^=(8-a^)a^/4<=1,
a^4-8a^+4>=0,a^>c^=4,
∴a^>=4+2√3，a>=√3+1,
∴e的取值范围是(0,√3-1].