Question

从连续自然数1，2，3，…，2008中任意取n个不同的数．

Answer 1

解：（1）设x1，x2，x3，x1007是1，2，3，2008中任意取出的1007个数．
首先，将1，2，3，…，2008分成1004对，每对数的和为2009，
每对数记作（m，2009-m），其中m=1，2，3，…，1004．
因为2008个数取出1007个数后还余1001个数，所以至少有一个数是1001个数之一的数对至多为1001对，
因此至少有3对数，不妨记为（m1，2009-m1），（m2，2009-m2），（m3，2009-m3）（m1，m2，m3互不相等）均为x1，x2，x3，x1007中的6个数．
其次，将这2008个数中的2006个数（除1004、2008外）分成1003对，每对数的和为2008，每对数记作（k，2008-k），其中k=1，2，1003．
2006个数中至少有1005个数被取出，因此2006个数中除去取出的数以外最多有1001个数，这1003对数中，至少有2对数是x1，x2，x3，!x1007中的4个数，不妨记其中的一对为（k1，2008-k1）．
又在三对数（m1，2009-m1），（m2，2009-m2），（m3，2009-m3），（m1，m2，m3互不相等）中至少存在1对数中的两个数与（k1，2008-k1）中的两个数互不相同，不妨设该对数为（m1，2009-m1），
于是m1+2009-m1+k1+2008-k1=4017．
（2）不成立．
当n=1006时，不妨从1，2，…，2008中取出后面的1006个数：
1003，1004，2008，
则其中任何四个不同的数之和不小于1003+1004+1005+1006=4018＞4017；
当n＜1006时，同样从1，2，200的n个数，其中任何4数之和大于1003+1004+1005+1006=4018＞4017．
所以n≤1006时都不成立．

Answer 2

C(2008,n)