Question

梯形ABCD中,AB平行CD,AD=BC,CE垂直AB于E,若AC垂直于BD于G.求证:CE=二分之一（AB＋CD）

八年级数学

Answer 1

解法一：证明：过C作CF∥DB交AB的延长线于F
易证四边形BFCD是平行四边形
可得CF＝DB，且∠FCA＝∠BGA＝90度
故⊿ACF是等腰直角三角形
∵CE⊥AB
∴CE是AF边上的中线，等于斜边的一半
即CE＝1/2AF＝1/2（AB+CD）

能不能看懂？

解法二：延长DC到F，连接EF。再取DF中点H，连接BH。
证明：因为AB//CD，CF=AB。所以四边形ABFC是平行四边形，所以BF//=AC
又因为AC⊥BD于G，所以角DBF是直角三角形。
因为H为DF中点，所以BH=DH=HF=1/2(AB+CD)
因为梯形ABCD是等腰梯形，所以BD=AC=BF，所以三角形DBF是等腰直角三角形。所以BH垂直于DF
因为AB//CD，CE⊥AB于E，所以EC=BH=1/2(AB+CD)

以上两种解法供你参考。

Answer 2

证明：过G点作FH∥CE交AB于F，交CD于H，过D点作DK∥BC交AB于K ∵AB平行CD，AD=BC∴角ABC=角AKD BC=DK=AD, CE=HF HF⊥AB⊥CD ∴角DAB=角AKD=角ABC∵AD=BC 所以△ABD全等△BAC ∴角ADB=角BCA ∵角AGD=角BGC=90° AD=BC ∴△ADG全等△BCG ∴AG=BG CD=DG ∴△AFG全等△BFG, ∴AF=BF 因为角AGB=90°，∴FG=�0�5AB 同理HG=�0�5CD ∴FH=FG+HG=�0�5AB+�0�5CD =�0�5(AB+CD)=CE