Question

在三角形ABC中，AB=2倍根号5，AC=4，BC=2.以AB为边向三角形ABC外做等腰直角三角形ABD，求线段CD的长...

要详细过程、有图的话更好。急求....
初二的几何题，用勾股定理.有三种情况....

Answer 1

解：

∵AC=4，BC=2，AB=2倍根号5，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ACB为直角三角形，∠ACB=90°．
分三种情况：
如图（1），过点D作DE⊥CB，垂足为点E．
∵DE⊥CB（已知） 
∴∠BED=∠ACB=90°（垂直的定义），
∴∠CAB+∠CBA=90°（直角三角形两锐角互余），
∵△ABD为等腰直角三角形（已知），
∴AB=BD，∠ABD=90°（等腰直角三角形的定义），
∴∠CBA+∠DBE=90°（平角的定义），
∴∠CAB=∠EBD（同角的余角相等），
在△ACB与△BED中，
∵∠ACB=∠BED，∠CAB=∠EBD，AB=BD（已证），
∴△ACB≌△BED（AAS），
∴BE=AC=4，DE=CB=2（全等三角形对应边相等），
∴CE=6（等量代换）

根据勾股定理得：CD=2√10；

如图（2），过点D作DE⊥CA，垂足为点E．
∵BC⊥CA（已知） 
∴∠AED=∠ACB=90°（垂直的定义） 
∴∠EAD+∠EDA=90°（直角三角形两锐角互余）
∵△ABD为等腰直角三角形（已知） 
∴AB=AD，∠BAD=90°（等腰直角三角形的定义）
∴∠CAB+∠DAE=90°（平角的定义）
∴∠BAC=∠ADE（同角的余角相等）
在△ACB与△DEA中，
∵∠ACB=∠DEA（已证）∠CAB=∠EDA（已证） AB=DA（已证）
∴△ACB≌△DEA（AAS） 
∴DE=AC=4，AE=BC=2（全等三角形对应边相等） 
∴CE=6（等量代换）
根据勾股定理得：CD=2√13；

如图（3），过点D作DE⊥CB，垂足为点E，过点A作AF⊥DE，垂足为点F．
∵∠C=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∵∠DAB+∠DBA=90°，
∴∠EBD+∠DAF=90°，
∵∠EBD+∠BDE=90°，∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠DBE=∠ADF，
∵∠BED=∠AFD=90°，DB=AD，
∴△AFD≌△DEB，易求CD=3√2．

Answer 2

做CE垂直AB于E，DF垂直AB于F，CG垂直DF于G，
根据相似定力，BE/2=BC/AB，则BE=2/根下5，CE=4/根下5
根据ABD为等腰直角三角形，则，DF=BF=BA/2=根下5
则：CG=BF-BE=根下5-2/根下5
DG=DF-CE=根下5-4/根下5
勾股定理，CD=根下（CG平方+DG平方）=根下2