Question

已知三角形ABC中,BC=2AB,角B=2角C,AD是中线.求证:角B+角DAC=90°

Answer 1

如图：做BF垂直于AD,延长BF交AC于E,连接ED。

∵BC=2AB且AD是中线

∴AB=BD，即三角形ABD为等腰三角形。

容易证明三角形ABE全等于三角形DBE

BD=BA,BE=BE,∠DBE=∠ABE（边角边）

又∵角B=2角C,∠EBD=1/2∠B

∴∠EBD=∠C

∴三角形BEC是等腰三角形。

D是中点，易得∠EDB=90°

即∠EAB=90°

即△ABC为直角三角形，所以∠C=30°，∠B=60°。

所以等腰三角形ABD为正三角形，有∠B=∠BAD

∠BAD+∠DAC=∠CAB=90°，即∠B+∠DAC=90°

Answer 2

∵∠B＝2∠C，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－3∠C。
由正弦定理，有：BC/sin∠BAC＝AB/sin∠C，∴BC/sin（180°－3∠C）＝AB/sin∠C，
∴BC/sin3∠C＝AB/sin∠C，又BC＝2AB，∴2/sin3∠C＝1/sin∠C，∴sin3∠C＝2sin∠C，
∴3sin∠C－4（sin∠C）^3＝2sin∠C，显然有sin∠C＞0，∴3－4（sin∠C）^2＝2，
∴（sin∠C）^2＝1/4，∴sin∠C＝1/2。

由∠B＝2∠C可知：∠C是锐角，否则∠B就大于180°。
∴由sin∠C＝1/2，得：∠C＝30°，∴∠B＝60°，∴∠BAC＝90°，又BD＝CD，
∴AD＝CD，∴∠DAC＝∠C＝30°，∴∠B＋∠DAC＝60°＋30°＝90°。