Question

如图,已知抛物线y=ax²+bx+3(a≠0)经过点A(-1,0),B(3,0)两点，且与y轴交于点C.

（2）抛物线的对称轴与直线BC相交于点M，点N为X轴上一点，当以M、N、B为顶点的三角形与相似时，请你求出BN的长度（谁知道这个是△MNB与什么相似，这个题好像出错了， 题不完整）

谢谢咯

Answer 1

解：这道题应该是△MNB∽△CAB时，求MN的长度。
将A、B两点带入抛物线方程，有：a-b+3=0，9a+3b+3=0
解之，得：a=-1，b=2，因此抛物线方程为：y=-x²+2x+3，对称轴方程为x=-b/2a=1
当x=0时，y=3，所以C（0，3）。
直线CB的方程由B、C两点坐标可求出为：y=-x+3，和对称轴方程x=1联立解得y=2即为M点坐标，也就是M（1，2)。
△MNB∽△CAB，MN∥CA，而直线CA的斜率为k=3，所以直线MN的斜率也为3，所以直线MN的方程为y=3x-1，所以N点的坐标为（1/3，0）。
因此｜MN｜=√（1-1/3)²+（2-0）²=2√10/3。
另外，△MNB∽△CAB时，也可能不是MN∥CA，而是∠NMB=∠CAB，∠MNB=∠ACB，这时MN的直线方程怎么求，我也没想起来，sorry!

完善：
上述问题也可以这么求解，前面计算各点坐标的步骤不变，剩余步骤为：
由△MNB∽△CAB，可知：①｜BM｜/｜BC｜=｜MN｜/｜AC｜或者②｜BM｜/｜AB｜=｜MN｜/｜AC｜
①计算出｜BM｜=2√2，｜BC｜=3√2，｜AC｜=√10
∴｜MN｜=2√2×√10/3√2=2√10/3
②｜AB｜=4以及由①计算出的值，｜MN｜=｜BM｜×｜AC｜/｜AB｜=2√2×√10/4=√5
也就是说，答案有两个：分别为2√10/3或者√5。

再完善：前面看错了，计算成了MN的长度。不过有了上面的步骤，计算BN的方法一样的。
由△MNB∽△CAB，可知：①｜BN｜/｜AB｜=｜BM｜/｜BC｜或者②｜BN｜/｜BC｜=｜BM｜/｜AB｜
①计算出｜BM｜=2√2，｜BC｜=3√2，｜AB｜=4
∴｜BN｜=2√2×4/3√2=8/3
②由①计算出的值，｜BN｜=｜BM｜×｜BC｜/｜AB｜=2√2×3√2/4=3
所以答案为8/3或者3。

Answer 2

1,将A，B坐标代进去，求出a.b
2求出顶点做标
M点X坐标就出来了
比一下

Answer 3

应该是与△CAB相似。这样你就可以求出M的坐标，得到BM/BC=BN/BA，即可求出BN。