Question

直线l：x+2y-3=0与圆C：x²+y²+x-6y+m=0有两个交点A、B,O为坐标原点，若向量O

直线l：x+2y-3=0与圆C：x²+y²+x-6y+m=0有两个交点A、B,O为坐标原点，若向量OA垂直向量OB,求m的值.求过程

Answer 1

联立直线L:x=-2y+3与圆C方程得到：
(-2y+3)²+y²+(-2y+3)-6y+m=0
===> 4y²-12y+9+y²-2y+3-6y+m=0
===> 5y²-20y+(m+12)=0
由韦达定理可得： y1+y2=4，y1y2=(m+12)/5
因为点A(x1,y1)，B(x2,y2)在直线L上，所以：
x1=-2y1+3，x2=-2y2+3
所以，x1*x2=(-2y1+3)*(-2y2+3)
=4y1y2-6(y1+y2)+9
=4(m+12)/5-24+9
=(4m-27)/5
因为OA⊥OB，所以：Koa*Kob=-1
即，(y1/x1)*(y2/x2)=-1
===> x1x2=-y1y2
===> (4m-27)/5=-(m+12)/5
===> 4m-27=-m-12
===> m=3

不明白请追问，满意请采纳！（我好像帮你做过一次）

Answer 2

直线L:
x+2y-3=0变化为x=-2y+3
该直线与圆C方程联立可得到：
(-2y+3)²+y²+(-2y+3)-6y+m=0
4y²-12y+9+y²-2y+3-6y+m=0
5y²-20y+(m+12)=0
则
y1+y2=4，y1y2=(m+12)/5
因为点A(x1,y1)，B(x2,y2)在直线L上，所以：
x1=-2y1+3，x2=-2y2+3
所以，x1*x2=(-2y1+3)*(-2y2+3)
=4y1y2-6(y1+y2)+9
=4(m+12)/5-24+9
=(4m-27)/5
因为OA⊥OB，所以：Koa*Kob=-1
即，(y1/x1)*(y2/x2)=-1
x1x2=-y1y2
(4m-27)/5=-(m+12)/5
4m-27=-m-12
解上述方式则 m=3

Answer 3

x+2y-3=0(1)
x^2+y^2+x-6y+m=0(2)
x=3-2y(3)
把（3）带入（2）
（3-2y)^2+y^2+3-2y-6y+m=0
5y^2-20y+12+m=0
A(x1,y1)B(x2,y2)
y1+y2=4,y1y2=(12+m)/5
x1x2+y1y2=0
(3-2y1)(3-2y2)+y1y2=0
9-6y2-6y1+4y1y2+y1y2=0
9-6(y1+y2)+5y1y2=0
9-6x4+5x(12+m)/5=0
m=3