Question

求证：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为定值。

Answer 1

已知等腰三角形ABC，AB=AC，D是底边BC上任意一点，DE、DF分别是两腰的高。

求证：DE+DF是定值。

证明：过点B作AC边上的高BF，连接AD。如图所示。

AB=AC

△ADC面积=AC×DF÷2

△ADB面积=AB×DE÷2=AC×DE÷2   

△ABC面积=AC×BF÷2

△ADC面积+△ADB=△ABC

∴AC×DF÷2+AC×DE÷2=AC×BF÷2

化简得：

DF+DE=BF

DF是三角形一条腰上的高，是个定值

所以：DE+DF是个定值，这个定值等于腰上的高。

证毕

Answer 2

等腰 ==> 底角相等，设为A，设任一点划分底边长度分别为m、n ==> 距离之和=m*sinA+n*sinA=(m+n)sinA ==>定值

Answer 3

方法 一:

已知：P是等腰三角形ABC底边BC上的任意一点。EP⊥AB，PF⊥AC。
求证：PE+PF为定值。
证明：
作CH⊥AB，则，CH是△ABC的高是定值。
作PN⊥CH，则四边形PNHE是矩形。
∵矩形PNHE
∴PE=HN，PN∥AB
∴∠B=∠NPC
又等腰三角形ABC，
∴∠B=∠ACB
∴∠NPC=∠ACB
又∠PNC=∠PFC=90°，PC=CP
∴△PNC全等△PFC
∴PF=CN
∴PE+PF=CH
∴PE+PF为定值

方法二:
等腰三角形ABC，AB=AC，CD为AB上高，P为BC上任一点，PM，PN分别垂直AB，AC
求证：CD=PM+PN
S△ABC=S△ABP+S△ACP
S△ABC=1/2AB*CD
S△ABP=1/2AB*PM，
S△ACP=1/2AC*PN，AB=AC
所以：
1/2AB*CD=1/2AB*PM+1/2AC*PN
所以：
CD=PM+PN
因此结论成立

Answer 4

应该是距离之和为定值吧，设三角形ABC,AB=AC,则在BC上任取一点D，D到两腰的距离之和为BD*SINB+CD*SINC=（BD+CD）*SINC=BC*SINC，为定值