Question

如图,已知在梯形ABCD中,AD‖BC,E,F分别为AD,BC中点,EF⊥BC.求证：四边形ABCD为等腰梯形

Answer 1

连接AF、DF,
∵EF⊥BC，∴EF⊥AD，∠AEF=∠DEF=90
而AE=ED，故△AEF≌△DEF，AF=DF，∠AFE=∠DFE
∠AFB=90-∠AFE=90-∠DFE＝∠DFC
而BF=CF，AF=DF
故△ABF≌△DCF,AB=DC,
故，四边形ABCD是等腰梯形

Answer 2

连接BE和CE
∵EF⊥BC,
F是BC的中点
∴∠BFE=∠CFE=90°
BF=CF
∵EF=EF
∴△BEF≌△CEF(SAS)
∴BE=CE
∠EBF=∠ECF
∵AD∥BC
∴∠AEB=∠EBF
∠DEC=∠ECF
∴∠AEB=∠DEC
∵E是AD的中点即AE=DE
BE=CE
∴△AEB≌△DEC(SAS)
∴AB=CD
∴四边形ABCD为等腰梯形

Answer 3

过E做EG//AB，EH//CD
∵AD // BC
∴四边形AEGB是平行四边形，四边形EHCD是平行四边形
∴AE=BG，ED = CH
∵E是AD的中点
∴AE = ED
∴BG = CH
∵F是BC的中点
∴BF = FC
∴GF = FH
∴△EGH是等腰三角形
∴EG = EH
∴AB = CD
∴梯形ABCD是等腰梯形