Question

概率论与数理统计随机变量，希望大家回答详细点，被困扰了好久

一个靶子是半径为2米的圆盘，射设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离。试求随机变量X的分布函数。
书上给出的解答：
若x<0,则P{X<=x}=0
若0<=x<=2,则P{X<=x}=kx^2.取x=2，有P{X<=x}=4k,但已知P{X<=x}=1，所以k=1/4
所以P{X<=x}=(x^2)*(1/4)
若x>2,则P{X<=x}=1
我的问题是 X x个代表什么意思，它们不都是表示半径吗，怎么会大小不相等，还有x怎么会出现小于0或者大于2的情况，题目不是说了半径为2吗，另外为什么是kx^2，这个k是怎么来的，为什么要平方，总之就整个不懂，还有最后求出随机变量X的分布函数F（x）在这道题中代表的实际意义是什么，就是结合题目说明，这样比较好理解

Answer 1

X表示弹着点与圆心的距离。它是一个随机变量，是些是无法确切知道的。
所谓分布函数F(x)代表X的取值落入（-无穷，x]的概率即F(x)=P(X<=x)(这里两个x注意大小写的区别，含义不同，X是随机变量，x是确定性的变量，x可以在实数范围内变化，所以F(x)是一个关于x的函数,就会有x<0,x>2的情况）
若x<0,则{X<=x}是不可能事件。所以P(X<=x)=0
x>2,则由于X取值范围是【0.2】所以{X<=x}是必然事件，因此P{X<=x}=1
若0<=x<=2,则P{X<=x}=P{X<0}+P{0<=X<=x}=P{0<=X<=x}
事件0=X<=x}表示弹着点落入以半径为x，圆心为靶心的园内，根据题意其概率与圆盘的面积成正比（当然等价于与半径的平方成正比）所以P{0<=X<=x}=kx^2

追问

最后求出随机变量X的分布函数F（x）在这道题中代表的实际意义是什么，就是结合题目说明，这样比较好理解

追答

已经给你说了F(x)代表X的取值落入（-无穷，x]的概率，也就是落在离靶心距离不超过x的概率
当x=2时是必然事件（射击都能中靶！）

Answer 2

F(x)=P{X≤x)是分布函数，这里X表示随机变量弹着点与圆心的距离，x是一个实数。如你所知，当x<0时，X≤x是不可能事件，故P{X≤x)＝0.当x>2时，X≤x是必然事件，故P{X≤x)＝1
当0≤x≤2时，由于中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，也即与半径的平方成正比(S=πr^2),于是P{X<=x}=kx^2.当x=2时，P{X≤2}=k2^2＝4k,而X≤2是必然事件，即P{X≤2}=1
故4k=1
k=1/4