Question

一道线性代数证明题

设a1,a2,......an是一组n维向量。证明：a1,a2,......an现行无关的充分必要条件是任一n维向量都可以由他们线性表出。

Answer 1

必要性:
a1,a2,...an线性无关
=> |a1,a2,...an| ≠ 0
=> 对任一n维向量b, (a1,a2,...an)X = b 有解
=> 任一n维向量b都可被a1,a2,...an线性表示
充分性:
因为任一n维向量都可被a1,a2,...an线性表示
所以n维基本向量组ε1,ε2,...,εn可由a1,a2,...an线性表示
所以 n = r(ε1,ε2,...,εn) <= r(a1,a2,...an).
所以 a1,a2,...an 线性无关.

追问

因为任一n维向量都可被a1,a2,...an线性表示

所以n维基本向量组ε1,ε2,...,εn可由a1,a2,...an线性表示
这个是怎么来的？

追答

必要性:
a1,a2,...an线性无关
=> |a1,a2,...an| ≠ 0
=> 对任一n维向量b, (a1,a2,...an)X = b 有解
=> 任一n维向量b都可被a1,a2,...an线性表示
充分性:
因为任一n维向量都可被a1,a2,...an线性表示
所以n维基本向量组ε1,ε2,...,εn可由a1,a2,...an线性表示
所以 n = r(ε1,ε2,...,εn) <= r(a1,a2,...an).
所以 a1,a2,...an 线性无关.