Question

两个不等式证明问题，在线等，急急急！！！！

要详细过程及步骤或写明所用公式及思路，能让我看懂者追加
1.求证：(a^2+b^2)/2+1≥√(a^2+1)∙√(b^2+1)
2.已知x>0，y>0且x+2y=1，求证：1/x+1/y≥3+2√2
拜托把题看清了再粘答案，第2个都改了还抄人家楼上的有创意没？

Answer 1

1.(a^2+b^2)/2+1
=（a^2+1）/2+(b^2+1)/2
>=2根号[(a^2+1)/2*(b^2+1)/2]( 平均值不等式a^2+b^2>=2ab)
=√(a^2+1)∙√(b^2+1)
[2'.（a+b）（1/a+1/b）>=(a*1/a+b*1/b)^2=4
（排序不等式(a1^2+a2^2+a3^2+...+an^2)*(b1^2+b2^2+b3^2+...+bn^2)>=(a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn)^2）
等号成立当且仅当a/(1/a)=b/(1/b)
a^2=b^2,a=b（因为a,b>0）,当a不等于b
所以（a+b）（1/a+1/b）>4]
2.欲证1/x+1/y≥3+2√2
即证(3+2√2)xy-(x+y)=<0
因为x,y>0.x+2y=1,因此0<y<1/2,且x=1-2y,代入上式即为要证
f(y)=(3+2√2)y-(3+2√2)y^2-1+y
=-(3+2√2)y^2+(4+2√2)y-1=<0
在0<y<1/2时恒成立
而-(3+2√2)y^2+(4+2√2)y-1
=-(3+2√2)[y-(2+√2)/(3+2√2)]^2
+(2+√2)^2/(3+2√2)-1
因为(2+√2)/(3+2√2)>1/2
又f(1/2)=-(3-2√2)/4<0
所以当y在(0,1/2)上时，
f(y)<f(1/2)<0

Answer 2

1.观察原式
(a²+b²)/2 + 1 ≥ √(a²+1)∙√(b²+1)
可整理为[√(a²+1) - √(b²+1)]² ≥ 0

故由[√(a²+1) - √(b²+1)]² ≥ 0
推出a² + 1 + b² + 1 - 2*√(a²+1)*√(b²+1) ≥ 0
即a²+b²+2 ≥ 2*√(a²+1)*√(b²+1)
两边同时除于2,得到
(a²+b²)/2 + 1 ≥ √(a²+1)∙√(b²+1)
即原不等式成立

2.(a+b)(1/a+1/b)
=1 + a/b + b/a + 1
=2 + a/b + b/a
≥2 + 2 *√(a/b*b/a)
=4
当且仅当a/b = b/a 时等号成立
但a≠b,故等号不成立
即(a+b)(1/a+1/b) > 4成立

Answer 3

??????????????????????????????????????????????????

Answer 4

证明：
1、∵ [√(a^2+1)]^2+[√(b^2+1)]^2≥2·[√(a^2+1)]·[√(b^2+1)]∴ (a^2+b^2)/2+1≥√(a^2+1)∙√(b^2+1)
2、（a+b）（1/a+1/b）＝2＋(a/b+b/a)
∵ a＞0，b＞0 ∴ a/b＞0，b/a＞0
∴ a/b+b/a≥2根号[(a/b)·(b/a)]＝2
∵ a≠b ∴ a/b≠b/a
∴ a/b+b/a＞2
∴ (a+b）（1/a+1/b）＝2＋(a/b+b/a)>4
即 (a+b）（1/a+1/b）>4

Answer 5

1.两边同时乘2,将左边的移到右边来,就有
(a平方+1)-2√(a^2+1)∙√(b^2+1)+(b平方+1)≥0
将(a平方+1)和(b平方+1)分别看做√(a^2+1)和√(b^2+1)的平方
然后分解因式成了两个之差的平方,所以就一定大于0了~
2.将左边乘开后得
b/a+a/b+2>4
因为a.b都大于0,把右边的4移过来
两边再同乘以ab
得a平方+b平方-2ab>0
这是显然的~

Answer 6

1、（√(a^2+1)-√(b^2+1) ）^2≥0
∴a^2+1+b^2+1-2√(a^2+1)∙√(b^2+1) ≥0
∴a^2+1+b^2+1≥2√(a^2+1)∙√(b^2+1)
∴a^2+b^2+2≥2√(a^2+1)∙√(b^2+1)
∴(a^2+b^2)/2+1≥√(a^2+1)∙√(b^2+1)

2、∵a≠b、∴（a-b）的平方＞0 ∴a平方+b平方＞2ab
（a+b）（1/a+1/b）=1+a/b+b/a+1
=2+（a平方+b平方）/ab
∵a平方+b平方＞2ab ∴（a平方+b平方）/ab＞2
∴2+（a平方+b平方）/ab＞4
∴（a+b）（1/a+1/b）>4