Question

求函数y=x^2+x√(x^2-1)的值域

Answer 1

(1)当x>=1时，函数单调增，y>=1,取值为1到正无穷。
(2)当x<=-1时，函数可变为y=x^2-√[(x^2-1)x^2],令x^2=t,则t>=1
此时y=t-√(t^2-t)=t-√[(t-1/2)^2-1/4]=t-1/2+1/2-√[(t-1/2)^2-1/4],
y=√(t-1/2)^2+1/2-√[(t-1/2)^2-1/4],
令m=(t-1/2)^2,m>=1/4,则y=√m+1/2-√(m-1/4),分子有理化得
y=1/2+(1/4)/[√m+√(m-1/4)],m>=1/4.
√m+√(m-1/4)在定义域内单调增，大于等于1/2，
所以y<=1/2+1/2=1,当m趋向于无穷时，y趋向于1/2
得到1/2<y<=1.
综上得到y>=1/2.

Answer 2