Question

求函数y=（x+1）/x^2+2x+2 的值域

Answer 1

y=(x+1)/(x^2+2x+2)的值域
1/y = [(x+1)^2 + 1] / (x+1)
= (x+1) + 1/(x+1)
当(x+1)>0时 即x>-1时
(x+1) + 1/(x+1)>=2 当x=0时取等号。（x=-2不在讨论范围内）
此时 1/y >= 2 ； 0 < y <= 1/2;
当(x+1)<0时 即x<-1时
-(x+1) - 1/(x+1)>=2 当x=-2时取等号。（x=0不在讨论范围内）
此时 -1/y >= 2 ； -1/2 <= y < 0;
当x=-1时 y=0
故纵上述 y的值域为[-1/2，1/2]
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Answer 2

用判别式法
yx+y=x^2+2x+2
x^2+(2-y)x+(2-y)=0
这个关于x的方程有解则判别式大于等于0
所以(2-y)^2-4(2-y)>=0
(2-y)(2-y-4)>=0
(y-2)(y+2)>=0
y>=2,y<=-2
所以值域(-∞,-2]∪[2,+∞)