Question

若f(x)=(1+x)^m+(1+x)^n(m*n属于N)展开式中,x的系数为21,问m,n为何值时,x^2的系数最小

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Answer 1

f(x)=(1+x)^m+(1+x)^n(m*n属于N)展开式中,x的系数为m+n=21x^2的系数=m(m-1)/2+n(n-1)/2=m(m-1)/2+(21-m)(21-m-1)/2=m(m-1)/2+(21-m)(20-m)/2=1/2(m^2-m+m^2-41m+420)=m^2-21m+210=(m-21/2)^2+399/4要取最小值m=10或11n＝11或10

Answer 2

解：f（x)=（1+x)^m+(1+x)^n由已知可得：m+n=21x^2项的系数为m(m-1)/2+n(n-1)/2=(m^2+n^2)/2-21/2=（m+n）^2/2-m*n-21/2>=21^2/2-[(m+n)/2]^2-21/2当m=n时，等号成立，又因为m+n=21，m，n∈N，即m=10，n=11或m=11，n=10时，x^2的系数最小