Question

一道有点难度的几何题！！！

1、如图，E是平行四边形ABCD内一点E，已知DE⊥AD，,∠CBE=∠CDE，∠BCE=45°，CE的延长线交AD于F，连接BF，下列结论：①BE⊥AB；②BE=CD；③四边形BCDF为等腰梯形；④AF=CE，其中正确的是（参考答案给的是全对，第二个我用延长DE交BC的辅助线证出来了，后面两个怎么证明？请给出详细答案！在线等，出来就给财富，谢谢!）

Answer 1

1)由平行四边形性质得，∠CBA=∠CDA
因为∠CBA=∠CBE+∠EBA
∠CDA=∠CDE+EDA
又由题意知道∠CBE=∠CDE
所以∠EBA=∠EDA
因为DE⊥AD
所以∠EDA=90
∠EBA=∠EDA=90
所以BE⊥AB
2)由三角形全等，得到BE=CD
3)思路：需要证明∆BED≌∆CDF,步骤如下
连接BD
因为：BC//DF,∠BCE=45
所以：∠DFE=∠BCE=45
因为∠EDF=90，∠DFE=45
所以∠DEF=45
DE=DF(因为∠DFE=∠DEF=45)
∠BED=∠BEF+∠DEF=∠BCE+∠CBE+∠DEF=45+∠CBE+45=90+∠CBE
∠CDF=∠EDF+∠CDE=90+∠CDE
因为∠CBE=∠CDE
所以∠BED=∠CDF
在∆BED和∆CDF中
BE=CD(在第1题中证明）
DE=DF(因为∠DFE=∠DEF=45)
∠BED=∠CDF
所以∆BED≌∆CDF
BD=CF
四边形BCDF为等腰梯形(因为对角线BD=CF)
4)

追问

第四个 是 ；④AF=根号2 CE，可以证明吗？
然后最后这里 BE=CD(在第1题中证明）
DE=DF(因为∠DFE=∠DEF=45)
∠BED=∠CDF
所以∆BED≌∆CDF ，好像两边和一个角，这个角不是夹角，不能证明全等？？？谢谢！！

追答

∆BED≌∆CDF是可以证明的，以下条件是两边和一个夹角（SAS)

BE=CD(在第1题中证明）
DE=DF(因为∠DFE=∠DEF=45)
∠BED=∠CDF

第4题：
连接AE
∠AFE=∠EDF+∠FED=90+45=135
∠CED=∠EDF+∠EFD=90+45=135
所以∠AFE=∠CED
因为BE=CD=AB，∠EBA=90
所以∠BEA=∠BAE=45
∠EAF=∠BAF-∠BAE=∠BAF-45
∠ECD=∠BCD-∠BCE=∠BAF-45
所以∠EAF=∠ECD
又因为∠AFE=∠CED
所以∆CED与∆AFE相似
CE/AF=DE/EF
在RT∆DEF中，∠DFE=45
所以DE=EFsin∠DFE=EFsin45
DE/EF=sin45=√2/2
所以CE/AF=DE/EF=√2/2
AF=√2CE