Question

如图，矩形ABCG中，点D是AC的中点，点E是AB上一点，且BE＝BC，DE⊥DC，CE交BD于F，（1）求证：DB＝DC；

；（2）求证：BD平分∠CDE；（3）求EA/EF的值．

Answer 1

（1）△ABC直角△，所以斜边上的中线等于斜边一半。DB=1/2AC=DC
（2）设BC=BE=1，AE=x，△ADE∽△ABC，AE/AD=AC/AB，
故根号（1+（1+x）²）/(1+x)=x/(根号（1+（1+x）²）/2)，
故AE=x=根号2=CE，∠ACE=1/2*45°=22.5°。∠ACB=45°+22.5°=∠DBC，所以∠BDC=180°-2*67.5°=45°，DC⊥DE，故BD评分∠CDE
（3）AE=CE，即求EC/EF。因为BD平分∠CDE，所以EF/CF=ED/DC。在一个∠为22.5°的直角△中直角边的比可以算出CF/EF=根号2+1，EA/EF=1+CF/EF=根号2+2