Question

如图,矩形ABCD的两边AB=3,BC=4,P是AD上任一点,PE⊥AC，垂足为点E，PE⊥BD，垂足为点F，求PE+PF的值

Answer 1

你好

很简单的

PE⊥AC,PE⊥BD
连接PO，
S△APO+S△POD=1/2OA*PE+1/2OD*PF=1/2OA*(PE+PF)=1/4AC*(PE+PF)
S△APO+S△POD=S△AOD=1/2AD*(1/2AB)=1/4BC*AB=3
AC=√(AB²+AC²)=5
1/4*5*(PE+PF)=3
PE+PF=12/5

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Answer 2

证明：因为ABCD是矩形
所以AC=BD=√(AB^2+BC^2)=√(3^2+4^2)=5
因为PE⊥AC，FE⊥BD
所以∠PEA=∠DFP=90
RT∆DPF和RT∆DBA中
∠PDF=∠BAD
∠DFP=∠BAD
所以RT∆DPF≌RT∆DBA
PF/AB=DP/BD (1)
同理可得，RT∆AEP≌RT∆ADC
PE/CD=AP/AC (2)
方程（1）和方程（2）左右两边分别相加，得
PF/AB+PE/CD=DP/BD+AP/AC
在矩形ABCD中，AB=CD=3，AC=BD=5,BC=AD=4
所以PF/AB+PE/CD=DP/BD+AP/AC可变换为
（PE+PF)/AB=(DP+AP)/AC=AD/AC
代入，得(PE+PF)/3=4/5
PE+PF=12/5