Question

如图，平行四边形ABCD中，AE、BE、CG、DH分别是四个内角的平分线，

AE分别交BF、DH、于点M、N、CG分别交DH、BF于点P、Q。试判断四边形MNPQ的形状，并说明理由。

Answer 1

四边形MNPQ是平行四边形
证明:因为四边形ABCD是平行四边形
所以角BAD=角BCD
角ABC=角ADC
AD平行BC
所以角AEB=角DAE
角ADH=角CHD
因为AE平分角BAD
所以角BAE=角DAE=1/2角BAD
因为CG平分角BCD
所以角BCG=角DCG=1/2角BCD
所以角DAE=角BCG
所以角AEB=角BCG
所以AE平行CG
同理可证：BF平行DH
所以四边形MNPQ是平行四边形

Answer 2

长方形。

由于是各个角的平分线，所以易知AE//CG,BF//HD，所以MNPQ是平行四边形。从三角形ABF和三角形ABM中，角BAM=角FAM，角AFM=角FBH=角ABM，所以角AMB=角AMF，又两个角合起来是一个平角，即为180°，所以角AMF=90°，所以平行四边形MNPQ有一个内角为90°，所以MNPQ为长方形。

Answer 3

∠ADH=∠DHC(平行)
∠ADH=∠HDC(平分)
所以∠DHC=∠HDC
得△HDC是等腰三角形
∠HCP=∠DCP(平分)
所以∠HPC=∠CPD=RT
同理得四边形MNPQ的四个角均为直角，所以 其至少应是矩形