Question

求高数大神，这道题的这种做法哪里错了，我知道该怎么做，只求大神告诉我这种做法哪个步骤错了

Answer 1

因为你的上下限在做换元
x=t^2时，都变为正无穷了
因为负无穷的平方就是正无穷啊
所以其实会得到0
注意换元时，上下限也要跟着换

最简单是利用奇函数性质，在对称区间上积分为0
当然还需注意需要反常积分收敛，此处是收敛的

追问

t的取值是负无穷到正无穷，说明t也可取值为0啊，所以t²的取值范围应该是零到正无穷，难道这不对吗？

追答

不对，那我问你
你的意思岂不是
∫ tdt=∫ tdt
如果你做换元x=t^2 ?
显然是互为相反数好吧
所以换上下限的时候是根据你的原变量的上下限，带入你换元的函数，从而得到新的上下限。

此处更好一点的办法是先拆成两半
即
∫te^(-t^2) dt +∫te^(-t^2) dt
然后换元
发现左边就等于
∫ e^(-x)dx
右边是
∫ e^(-x)dx
正好抵消，明白了么？

Answer 2

首先可以判断，积分函数是个奇函数。所以负无穷到正无穷积分结果应该是0.
你的算法错误在：
使用x=t^2的变量代换后，错误的认为积分变量取值就是0到正无穷。其实上下限此时都变为正无穷。
你的作法错误在于把 负无穷到0 的那一段积分给人为的略去了。

追问

t的取值是负无穷到正无穷，说明t也可取值为0啊，所以t²的取值范围应该是零到正无穷，难道这不对吗？

追答

你把这个积分分为负无穷到0，0到正无穷两段，在做一下。或者把积分区间改为关于原点不对称的区间，再做一下积分，找一下积分的感觉。