Question

如图 在等边三角形abc中,点D,E分别在边BC,AC上,且BD=1/3BC,CE=1/3AC,AD与BE想交于点F （1）求证D、C、E、

如图 在等边三角形abc中,点D,E分别在边BC,AC上,且BD=1/3BC,CE=1/3AC,AD与BE想交于点F （1）求证D、C、E、F四点共圆；（2）求证AF垂直CF

Answer 1

1，BD=CE  ∠ABD=∠BCE=60  AB=BC

△ABD≌△BCD   ∠BDA=∠CEB=∠CEF

∠CDF+∠CEF=∠CDF+∠BDA=180

故D、C、E、F四点共圆

2，连接DE,做BG⊥AC

CE:CG=AC/3:AC/2=2:3

CD:CB=2:3

CE:CG=CD:CB    DE//BG  ∠DEC=∠CGB=90

D、C、E、F四点共圆

∠CFD=∠DEC=90

AF⊥CF

Answer 2

设DC中点为Q,连接EQ、DE，
明显：ΔCEQ为正三角形，所以，∠QEC=60度
而ΔEDQ为等腰三角形，所以：∠EDQ=∠QED=∠EQC/2=30度，
所以，∠DEC=90度；
又由于ΔBEA≌ΔADC，所以 ∠AEB=∠ADC
可知：ΔAPE∽ΔACD
∠AFE=∠ACD
所以，四边形FECD四点共圆，
所以，∠DPC=∠DEC=90度 (同弧所对圆周角相等)
即：AF垂直CF

追问

两问能分开写一下么?本人数学不好，步骤最好完善些，给你满意！

追答

（1）
设DC中点为Q,连接EQ、DE，
明显：ΔCEQ为正三角形，所以，∠QEC=60度
而ΔEDQ为等腰三角形，所以：∠EDQ=∠QED=∠EQC/2=30度，
所以，∠DEC=90度；
又由于ΔBEA≌ΔADC，所以 ∠AEB=∠ADC
可知：ΔAPE∽ΔACD
∠AFE=∠ACD
所以，四边形FECD四点共圆，

（2）
FECD四点共圆
所以，∠DPC=∠DEC=90度 (同弧所对圆周角相等)
即：AF垂直CF