Question

设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且f(a)=f(b)=0.试证:在(a,b)内存在一点n,使得f ' (n)+f(n)=0

其实我很怀疑题目错了，应该是减号

Answer 1

令g(x)=f'(x)+f(x),即要证明存在n属于(a,b)使得g(n)=0.
1.当f'(a)与f'(b)异号时。g(a)*g(b)=(f'(a)+f(a))*(f'(b)+f(b))=f'(a)*f'(b)<0.
故在(a,b)内一定存在n使得g(n)=0.
2.当f'(a)与f'(b)同号时。因为f(a)=f(b)=0,所以一定存在c属于（a,b）使得f(c)=0这时就可以仿照上面的证明，把上面的b替换成c即可。

这样的题目画一下图更好理解

Answer 2

令g(x)=f'(x)+f(x),即要证明存在n属于(a,b)使得g(n)=0.
1.当f'(a)与f'(b)异号时。g(a)*g(b)=(f'(a)+f(a))*(f'(b)+f(b))=f'(a)*f'(b)<0.
故在(a,b)内一定存在n使得g(n)=0.
2.当f'(a)与f'(b)同号时。因为f(a)=f(b)=0,所以一定存在c属于（a,b）使得f(c)=0这时就可以仿照上面的证明，把上面的b替换成c即可。
这样的题目画一下图更好理解