Question

已知函数f（x）=2xlnx+x^2-ax+3,其中a∈R.⑴设曲线y=f（

已知函数f（x）=2xlnx+x^2-ax+3,其中a∈R.⑴设曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x-y+1=0平行，求a的值；⑵若f（x）≤0在x∈[1/e,e]（e=2.718…）上恒成立，求a的取值范围。

Answer 1

1、f'(x)=2lnx+2+2x-a
f'(1)=4-a=2
∴a=2
2、f'(x)在[1/e,e]上单调递增
1)若f'(1/e)=2/e-a≥0，则f'(x)在[1/e,e]上恒≥0，即f(x)在[1/e,e]上单调递增
f(x)max=f(e)=2e+e^2-ae+3≤0
联合解得：无解
2)若f'(e)=4+2e-a≤0，则f'(x)在[1/e,e]上恒≤0，即f(x)在[1/e,e]上单调递减
f(x)max=f(1/e)=-2/e+1/e^2-a/e+3≤0
联合解得：a≥4+2e
3)若f'(1/e)=2/e-a≤0,f'(e)=4+2e-a≥0,则f(x)在[1/e,e]上先减后增
则：f(1/e)≤0,f(e)≤0
联合解得：3e+1/e-2≤a≤4-2e
综合，a≥3e+1/e-2

Answer 2

解：（1）由题意有df(1)/dx=2 又f'(x)=2lnx+2-2x-a 所以f'(1)=2ln1+2-2-a=-a=2 所以a=-2

Answer 3

答：
（1）
f(x)=2xlnx+x^2-ax+3
f'(x)=2lnx+2+2x-a
f'(1)=0+2+2-a=4-a
2x-y+1=0的斜率为2，所以：f'(1)=4-a=2
a=2

（2）
f(1/e)=3+1/e^2-(a+2)/e<=0，a>=3e+1/e-2
f(e)=3+e^2-(a-2)e<=0，a>=e+3/e+2
综上：a>=3e+1/e-2>0

f'(x)=2lnx+2+2x-a
因为：f''(x)=2/x+2>0
所以：f'(x)是增函数，f'(x)>=f'(1/e)=2/e-a
f'(1/e)=2/e-a<0
2.1）当f'(e)=4+2e-a<=0时，即a>=4+2e时，f(x)是减函数，f(x)<=f(1/e)<=0
2.2）当f'(e)=4+2e-a>=0时，即3e+1/e-2<=a<=4+2e时，存在f'(x)=0，f(x)在[1/e,e]
区间内先是减函数后是增函数，存在最小值小于等于0，故符合f(x)<=0.

综上所述，a>=3e+1/e-2

Answer 4

∵f'(x)=2lnx+2x+2-a
由题可知f'(1)=2
∴2ln1+2+2-a=2
∴a=2