Question

求椭圆M离心率e取值范围

椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆M上任一点，且的取值范围是则椭圆M的离心率e的取值范围是
改一下：上面的范围
改为





Answer 1

解：由题意可知F1（-c，0），F2（c，0），设点P为（x，y）
∵

x2    

a2    

+

y2    

b2    

=1∴x2=

a2 (b2-y2)    

b2    

∴

PF1    

=(-c-x，-y)，

PF2    

=(c-x，-y)
∴

PF1    

•PF2    

=x2-c2+y2=

a2 (b2-y2)    

b2    

-c2+y2
=a2-c2-

c2y2    

b2    

当y=0时

PF1    

•PF2    

取到最大值a2-c2，即c2≤a2-c2≤3c2，
∴

2    

c≤a≤2c，
∴

1    

2    

≤e≤

  2

   

2    

．故椭圆m的离心率e的取值范围[

1    

2    

，

  2

   

2    

]．

如果对你有帮助，望采纳，答题不易

Answer 2

解：设P(m，n)，满足方程m²/a²+n²/b²=1；
PF₁=(-c-m，-n)； PF₂=(c-m，-n)；
故PF₁•PF₂=-(c+m)(c-m)+n²=-(c²-m²)+n²=-c²+m²+n²；
已知c²≦-c²+m²+n²≦3c²，于是得2c²≦m²+n²≦4c² ；其中m²+n²=ρ²，ρ为椭圆上的动点P到原点
的距离。ρmax=a，ρmin=b；故得a²=4c²，由此得mine²=1/4；即mine=1/2；b²=2c²，即a²-c²=2c²
由此得a²=3c²，maxe²=1/3，即maxe=1/√3=√3/3。
即离心率的范围为1/2≦e≦(√3)/3.

Answer 3